das gibt es durchaus Parallelen:
Bei netcup hatte ich 2015 einen ganz kleinen rootserver, die zugesicherten Leistungen waren aber gar nicht vorhanden, der Support konnte oder wollte das natürlich gar nicht verstehen.
Gerade zu dieser Zeit hatte ich die dort einen Prestashop und die PHP cache Erweiterungen liessen sich zwar einrichten, aktivieren und wurden auch in der phpinfo.php angezeigt, aber richtig funktioniert habe sie überhaupt nicht was beim Einschalten genau zu diesen Problemen geführt hat die Du schilderst.
Templateabhängig war das bei mir aber nicht - die Fehler traten beim Bootstrap genauso auf wie beim Silbersaiten-Theme.
Leider kann ich die Leistungen(oder nicht vorhandenen) von damals nicht mehr mit den Neuen vergleichen um zu finden wo der Fehler eventuell noch gelegen haben könnte.
zudem gab es nach der Kündigung noch Probleme beim Domainumzug (Authcodes waren ständig ungültig)
Edit: Du kannst ja mal einen Test machen und einen Shopware-Shop auf dem Server installieren um zu schauen wie der mit dem cache dort zurechtkommst; Du kommst ja aus der Ecke, ist ja in 10 Min. erledigt