La version de PHP recommandée pour Prestashop 1.6 est PHP 5.6 mais cela devrait fonctionner jusqu'à la version de PHP 7.1 maximum.
Le problème ce n'est pas tant Prestashop, mais les modules qui sont rarement compatible PHP 7.
Vous avez un problème de configuration serveur, PHP n'a pas les bonnes permissions sur le système de fichier.
Quote/homepages/25/d683530096/htdocs/modules/autoupgrade/classes/ZipAction.php line 112 - ZipArchive::close(): Can't open file: Permission denied
Vérifiez que vous n'avez pas dépasser votre quotas d'inodes (Il y a une limitation chez 1&1 et d'autres hébergeurs mutualisés), vous l'avez peut être atteint ou proche de l'être et du coup pas assez de place pour faire la mise à jour.
Je vous recommande de faire la mise à jour en local : http://doc.prestashop.com/pages/viewpage.action?pageId=23069387