Buenos días Hugo,
Necesitas retocar el CSS para adecuarlos a las pantallas móviles.
En este caso tienes un overflow que debes quitar
Ahora (no aparece el buscador):
#search_widget {
margin-bottom: .625rem;
overflow: auto;
}
Para que aparezca el buscador:
#search_widget {
margin-bottom: .625rem;
overflow: none;
}
Tan solo debes insertar este CSS en tu tema para que salga el buscador.
¡Un saludo!