C'est faisable avec un module, il en existe un pour PrestaShop 1.7 mais en bricolant on peut faire un module compatible 1.6 en s'inspirant de son code, notamment : https://github.com/PrestaShop/ps_buybuttonlite/blob/v1.0.1/controllers/front/RedirectManager.php
Normalement on peut créé une commande dans le BO et envoyer un lien de paiement au client qui va utiliser recover_cart et token_cart : https://github.com/PrestaShop/PrestaShop-1.6/blob/1.6.1.6/classes/controller/FrontController.php#L1409