¡Buenas a todos!
Problema solucionado. La gente de mi hosting ha estado mirando y resulta que viene de la configuración del correo electrónico. Prestashop estaba configurado así:
Usar /usr/sbin/sendmail (recomendado; funciona en la mayoría de los casos)
Y ésto no funciona, ya que el servidor Linux no está configurado para enviar correo. Había que cambiar a la opción:
Establecer mis propios parámetros SMTP (SÓLO para usuarios avanzados)
Y meter la configuración de la cuenta de correo. Así se han resuelto todos los problemas de cuelgues, esperas y caídas. Espero que a alguien más le sirva.
¡Gracias por todas las respuestas!
Un saludo.