Prestashop es solo una plataforma que permite la venta de productos online. Necesitas, evidentemente, contratar un servicio de alojamiento web donde poder subir los archivos para que tu tienda esté online (normalmente incluye otra serie de servicios como correos electrónicos, webmail, etc).
Los pagos se realizan mediante módulos externos que te proporciona normalmente un banco (casi todos tienen soporte para Prestashop) u otra agencia que se dedique a gestionar pagos electrónicos (Paypal, Stripe). Cuando se llega al último paso de la compra y hay que realizar el pago esos módulos generalmente redireccionan al comprador al servidor de la plataforma de pagos, donde se realiza la transacción mediante tarjeta u otro método y luego les devuelven a tu tienda, ya con el pedido confirmado.
Hay también módulos disponibles que integran juntos varios métodos de pago, como Prestashop checkout, de este modo ellos te gestionan el tema de los pagos, pero la comisión que cobran normalmente es mayor que la que cobra un banco o contratar esos mismos servicios por separado.
Aparte de todo eso, Prestashop ya integra algún método de pago alternativo, como transferencia bancaria o pago por cheque, pero se trata de métodos de pago lentos, menos seguros, y poco atractivos para los clientes, así que esos se usan poco (y cuando se hace, es como métodos de pago alternativos, adicionales a otros inmediatos, como pago mediante tarjeta y/o Paypal).