Puedes conseguirlo con este CSS:
#mobile-header #search-widget-mobile { display: block !important; opacity: 1 !important; visibility: visible !important; transform: scale(1)!important; }
Ahora bien, a mí no me parece buena idea dejar ahí fijo en todo momento un campo de entrada de texto que hace que la cabecera (que además se queda fija encima de todo) se "coma" casi 1/3 de la pantalla del dispositivo. Ten en cuenta que en un móvil es espacio está muy limitado, y que hay que procurar aprovecharlo lo mejor posible. Y la solución que ya tiene de base tu tema de poner la lupa junto al menú hamburguesa para mostrar/ocultar el input de entrada de texto, a mí al menos ya me parece adecuada.